Zapamätanie si Schröderovej metódy ako efektívnej stratégie na odhadovanie koreňov neznámej multiplicity

Abstrakt:

V tomto článku navrhujeme, podľa našich najlepších vedomostí, prvú iteračnú schému s pamäťou na nájdenie koreňov, ktorých multiplicita je neznáma a existuje v literatúre. Zlepšuje účinnosť podobného postupu bez pamäte vďaka Schröderovi a možno ho považovať za zárodok na generovanie metód vyššieho rádu s podobnými charakteristikami. Po preštudovaní jeho poradia konvergencie sa analyzuje jeho stabilita, ktorá ukazuje jeho dobré vlastnosti, a numericky sa porovnáva z hľadiska ich príťažlivých nádrží s podobnými schémami bez pamäte na nájdenie viacerých koreňov.

Pamäť je dôležitou súčasťou ľudskej inteligencie a nevyhnutnosťou pre ľudské učenie, myslenie, tvorenie a život. Veľa ľudí však zisťuje, že ich pamäť je nedostatočná a často zabúdajú na dôležité veci. Kvalita pamäte úzko súvisí s iteráciou pamäte.

Takzvaná iterácia pamäte sa vzťahuje na nepretržité posilňovanie a upevňovanie pamäte v procese opakovaného učenia sa určitého vedomostného bodu alebo zručnosti a nakoniec sa transformuje na dlhodobú pamäť. Tento proces pomáha nielen konsolidovať spomienky, ale tiež zlepšuje ich množstvo a kvalitu.

Ako teda dobre iterovať pamäť? V prvom rade je potrebné plne porozumieť obsahu učenia. Iba hlbokým porozumením môže byť poznanie skutočne vtlačené do mysle a vyhnúť sa zabudnutiu. Po druhé, pokračujte v recenzovaní. Opakované opakovanie naučených vedomostí pomáha mozgu prehĺbiť dojem rozpoznávania vedomostí, uvažovania a porozumenia, čím sa zlepšuje dlhodobá pamäť. Nakoniec použite rôzne metódy, ktoré vám pomôžu iterovať pamäť. Svoju pamäť môžete prehĺbiť napríklad vytvorením myšlienkových máp, prerozprávaním atď.

Stručne povedané, iteratívna pamäť je zložitý a dôležitý proces, ktorý si vyžaduje nepretržité úsilie a vytrvalosť. Iba ak budeme s iteračnou pamäťou zaobchádzať ako so životným štýlom a začleniť ju do všetkých aspektov každodenného štúdia, práce a života, môžeme neustále zlepšovať našu pamäť, umožniť nám lepšie zvládať zložité výzvy v oblasti učenia a práce a ukázať nový osobný štýl. Mäsová pasta je tradičný čínsky liečivý materiál, ktorý má mnoho jedinečných účinkov, jedným z nich je zlepšenie pamäti. Účinnosť mletého mäsa pochádza z rôznych aktívnych zložiek, ktoré obsahuje, vrátane karboxylovej kyseliny, polysacharidov, flavonoidov atď. Tieto zložky môžu podporovať zdravie mozgu rôznymi kanálmi.

Kliknite na spoznajte 10 spôsobov, ako zlepšiť pamäť

Kľúčové slová:

Nelineárne rovnice; iteračné metódy s pamäťou; viac koreňov; bez derivátov; efektívnosť; stabilitu.

1. Úvod

V literatúre (pozri napríklad odkaz [1–8]) existujú početné iteračné metódy bez pamäte, zahŕňajúce alebo nederivované, určené na odhadnutie viacerých koreňov nelineárnej rovnice f(x)=0, ale väčšina z nich potrebuje znalosť mnohosti m týchto koreňov.

Je dobre známe, že Schröderova metóda [9]:

keďže ide o skutočný parameter, vyžaduje 4 vyhodnotenia funkcií na krok a už nie je bez derivácie. Táto Traub-Steffensenova metóda na g je príliš drahá a ďalej sa o nej neuvažuje.

Hlavnou výhodou Schröderovej schémy je jej nezávislosť od znalosti násobnosti nelineárnej funkcie, na rozdiel od modifikovanej Newtonovej metódy pre viac koreňov,

kde m je násobok , ktorý musí byť v tomto prípade známy. Táto schéma bola tiež vďaka Schröderovi (pozri tiež odkaz [9]) a označujeme ju SM2. Táto schéma je konvergentná druhého rádu, a preto je optimálna v zmysle Kung-Traubovej domnienky (keďže používa dve nové funkčné hodnotenia na iteráciu; pozri odkaz [10]). Potrebuje však znalosť násobnosti, zatiaľ čo SM1 ju nevyužíva; napriek tomu je hlavnou nevýhodou schémy SM1 jej nízka účinnosť, pretože potrebuje vyhodnotiť tri nelineárne funkcie (f(x), f 0 (x) a f 00(x)) na iteráciu.

Náš cieľ v tomto rukopise je dvojaký: na jednej strane by sme chceli zvýšiť efektívnosť schémy SM1, zachovávajúc jej schopnosť nájsť viacero koreňov násobnosti m bez znalosti m a na druhej strane kombinovať v rovnakom algoritme. schopnosť nájsť viacero koreňov s použitím viac ako jednej predchádzajúcej iterácie. Navrhujeme teda iteračnú schému s pamäťou na odhadovanie viacerých koreňov neznámej multiplicity. Pokiaľ vieme, v literatúre neexistuje žiadny iteračný postup, ktorý by spĺňal tieto vlastnosti.

Pri analýze konvergencie navrhovanej schémy je potrebné vziať do úvahy niektoré aspekty, pretože ide o iteračnú metódu s pamäťou, takže je potrebné zvážiť chybu v niekoľkých predchádzajúcich iteráciách a kľúčovým prvkom by mala byť aj násobnosť koreňa m demonštrácie, hoci jej konkrétna hodnota nie je známa. Vzhľadom na túto skutočnosť je potrebné poznamenať, že f (q) ( ) {{0}} pre q=1, 2, . . . , m − 1 a f (m) ( ) 6= 0. Takže Taylorove expanzie okolo f a f 0 v iteratívnom výraze by mali brať túto informáciu do úvahy.

Na druhej strane, keďže nami navrhovaná schéma je iteratívny postup, ktorý na výpočet nasledujúceho používa tri predchádzajúce iterácie, je potrebné chybovú rovnicu vyjadriť pomocou ich zodpovedajúcich chýb a z nej odvodiť jej poradie konvergencie. Toto sa robí pomocou klasického výsledku Ortegu a Rheinboldta [11], ktorý je uvedený nižšie.

Veta 1. Nech ψ je iteratívna metóda s pamäťou, ktorá generuje postupnosť {xk} aproximácií ku koreňu , a nech táto postupnosť konverguje k . Ak existuje nenulová konštanta η a kladné čísla ti, i=0, 1, . . . , m, také, že nerovnosť

V tomto rukopise je časť 2 venovaná návrhu a konvergenčnej analýze navrhovanej bezderivačnej iteračnej metódy s pamäťou na nájdenie viacerých koreňov (bez znalosti jej mnohosti). V časti 3 je analyzovaná jej stabilita, aby sa odvodila jej závislosť od počiatočných odhadov pre jednoduché aj viacnásobné korene. V časti 4 je numerická výkonnosť metódy kontrolovaná na niekoľkých testovacích funkciách, ktoré sa analyzujú, ako aj ich zodpovedajúcich oblastiach príťažlivosti v porovnaní s existujúcimi Schröderovými metódami.

2. Návrh a analýza konvergencie

Naším východiskovým bodom je schéma bez derivácie s pamäťou podľa Trauba [12],

Hlavnou výhodou tejto schémy je jej schopnosť nájsť jednoduché, ale aj viacnásobné korene nelineárnej funkcie bez znalosti násobnosti, s lepšou účinnosťou ako SM1. Pri použití Ostrowskiho indexu účinnosti [13] je ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 nižšie ako IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, kde každý index I sa vypočíta ako p 1 d, s p čo je poradie konvergencie metódy a d množstvo nových funkčných hodnotení na iteráciu.

V ďalšej časti je vykonaná dynamická analýza tejto schémy, aby sa ukázala jej kvalitatívna výkonnosť na jednoduchých a viacnásobných koreňoch. Keďže ide o iteračnú metódu s pamäťou, treba použiť viacrozmernú reálnu dynamiku.

3. Kvalitatívna štúdia navrhovaných iteračných metód s pamäťou pre viacnásobný koreň

Poznamenajme, že naša metóda používa tri predchádzajúce iterácie na vygenerovanie nasledujúcej; preto sa dá vyjadriť všeobecne a

kde x0, x−1 a x−2 sú počiatočné odhady. Pomocou postupu definovaného v Referencii [14] možno túto metódu opísať ako diskrétny reálny viacrozmerný dynamický systém a analyzovať jej kvalitatívne správanie.

Kvalitatívny výkon dynamického systému má kľúčový prvok pri charakterizácii ich pevných bodov z hľadiska stability. Na výpočet pevných bodov 1 SF Υ je možné definovať pomocnú vektorovú funkciu M: R3 −→ R3, vzťahujúcu sa na 1 SF Υ pomocou:

Navyše, ak existuje vlastná hodnota λi jakobijskej matice M{{0}} vyhodnotená v pevnom bode x ∗ spĺňajúca |λi|< 1 a ďalšie λj také, že |λj|> 1, potom sa x ∗ nazýva sedlový pevný bod. Ako rozšírenie konceptu v jednorozmernej dynamike, ak vlastné hodnoty M0 (x ∗ ) spĺňajú |λj |=0 pre všetky hodnoty j=1, 2, . . . , m, teda pevný bod x ∗ je nielen priťahujúci, ale aj superpriťahujúci. Preto má metóda kvadratickú konvergenciu, aspoň na triede nelineárnych funkcií, ktoré odvodzujú racionálnu funkciu (pozri Odkaz [12]).

Ak považujeme x ∗ za priťahujúci pevný bod M, jeho povodie príťažlivosti A(x ∗ ) je definované ako množina predobrazov ľubovoľného rádu.

Kvalitatívny výkon rôznych iteračných schém navrhnutých na riešenie nelineárnych rovníc s viacerými koreňmi bol študovaný rôznymi autormi (pozri napríklad literatúru [17–19]). Bol vytvorený pomocou diskrétnej komplexnej dynamiky, pretože všetky tieto schémy sú bez pamäte. V týchto štúdiách sa zistilo, že keď iteračná metóda (bez pamäte) navrhnutá na nájdenie viacerých koreňov pôsobí na nelineárnu funkciu s jednoduchými aj viacnásobnými koreňmi, je celkom bežné, že panvy príťažlivosti jednoduchých koreňov sú užšie ako tie s viacerými koreňmi. V skutočnosti tieto jednoduché korene môžu definovať pevné body racionálnej funkcie, ktoré sú odpudivé. Preto by iteračná metóda mala byť schopná nájsť iba viacero koreňov.

Nasledujúca kvalitatívna analýza sa robí na p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Väčšie alebo rovné 1, takže schopnosť schémy nájsť jednoduché aj testuje sa viac koreňov (s násobnosťou m).

Veľmi užitočným nástrojom na vizualizáciu analytických výsledkov je dynamická rovina systému, zložená zo súboru rôznych príťažlivých nádrží. Tu je dynamická rovina navrhovanej metódy gTM postavená výpočtom orbity siete 800 × 800 počiatočných bodov (z, x) pre pevnú hodnotu w v štartovom rošte. Keďže iteračné schémy je potrebné začať tromi počiatočnými odhadmi, vygenerujeme sieť dynamických rovín, pričom každá z nich má pevnú hodnotu w v intervale [−1,75, 1,75]. V týchto fázových portrétoch je každý bod siete natretý rôznymi farbami (v tomto prípade oranžovou a zelenou), v závislosti od atraktora, ku ktorému sa zbiehajú (označené ako biela hviezda), s toleranciou 10−3. Okrem toho sa zobrazujú čiernou farbou, ak obežná dráha nedosiahla žiadny atraktívny pevný bod v maximálne 500 iteráciách. Keďže pevná hodnota w sa mení vo vektore hodnôt patriacich k [−1.75, 1.75], výsledkom je zloženie čísel pre každú multiplicitu, čo vedie k určitému obrysovému grafu.

Na obrázku 1 ukazujeme výkonnosť schémy gTM na p(x), to znamená racionálneho operátora TM pre jednoduché korene. Pozorovaním správania pre rôzne grafy s tromi prvými iteráciami, ktoré sa menia v [−2, 2], je zaznamenaná stabilná realizovateľnosť. Povodia príťažlivosti koreňov sú jediné; sú široké a jediný rozdielny výkon (lepší ako ostatné z hľadiska jednoduchosti hranice medzi povodiami) je prípad w=0, kde je racionálna funkcia zjednodušená. Vo všetkých prípadoch sa pozoruje, že jediné možné správanie metódy gTM je konvergencia ku koreňom.

Na druhej strane, na obrázku 2 ukazujeme veľmi podobný výkon, keď jeden z koreňov je dvojitý a druhý jednoduchý. Povodia príťažlivosti sú rovnako široké a toto správanie je veľmi podobné, keď sa skúmali iné multiplicity. Okrem toho je v tomto prípade vidieť, že dochádza len ku konvergencii ku koreňom, keďže tmavšie oblasti majú len pomalšiu konvergenciu, kvôli vyššej zložitosti hranice povodí príťažlivosti.

4. Numerický výkon a dynamické testy

V tejto časti porovnávame tri metódy, a to SM2 (vyžadujúci znalosť multiplicity), SM1 a gTM (odvodené z Traubovej metódy). Posledné dve metódy nevyžadujú znalosť multiplicity, ale vyžadujú si dodatočné funkčné hodnotenia na iteračný krok (tri v prípade SM1, dve v prípade gTM).

Metódy sa porovnávajú kvalitatívne prostredníctvom hodnôt príťažlivosti a kvantitatívne prostredníctvom niekoľkých meraní. Tieto merania predstavujú čas chodu CPU na spustenie metódy v bodoch v štvorci 6 x 6 so stredom v počiatku. Štvorec sme rozdelili rovnomerne rozmiestnenými horizontálnymi a vertikálnymi čiarami a všetky priesečníky sme vzali ako počiatočné body pre iteračný proces.

Pre TM, metódu s pamäťou, sme museli vziať ďalšie dva počiatočné body x−1=x0 + d a x−2=x0 + 2d, kde d je rozstup riadkov. Ďalším kritériom, ktoré kód zhromažďuje, je priemerný počet iterácií na bod (AIPP), ale keďže metódy vyžadujú rôzny počet funkčných hodnotení na krok, zobrali sme priemerný počet funkcií na bod (AFPP). Tretím kritériom je počet divergentných bodov (DP), čo je počet bodov, pre ktoré metóda nekonvergovala v 40 iteráciách s toleranciou 10−7.

Na základe obrázku 3 je zrejmé, že SM1 a SM2 majú podobné povodia a gTM má viac lalokov na hranici medzi týmito dvoma povodiami. Z obrázku 4 si všimneme, že gTM je lepší ako SM1. Na nasledujúcich 3 číslach je gTM najlepší, so širšími panvami príťažlivosti a užšími čiernymi oblasťami bez zbiehania ku koreňom. Tento výkon platí aj pre nepolynomiálnu funkciu f5. Navyše na obrázku 8 si možno všimnúť, že bazény príťažlivosti metódy SM2 sú širšie ako naša metóda gTM.

Teraz sa odvolávame na údaje v tabuľkách 1–3. Doba chodu CPU v sekundách je uvedená v tabuľke 2. SM2 je konzistentne rýchlejší ako ostatné. Ak násobnosť nie je známa, potom je gTM rýchlejší ako SM1, s výnimkou prvého príkladu. V priemere je gTM rýchlejší ako SM1.

Priemerný počet hodnotení funkcií na bod (pozri tabuľku 2) je najvyšší pre SM1 zo všetkých príkladov. Všimnite si, že posledný príklad je najťažší pre všetky metódy. Počet divergentných bodov je najnižší pre gTM pre príklady 1, 3 a 4. SM1 má najviac divergentných bodov pre prvých 6 príkladov, ale v poslednom príklade si gTM viedol zle a stal sa celkovo tretím miestom. Metóda SM2 bola v priemere najlepšia pre 3 kategórie nasledovaná gTM pre 2 kategórie.

5. Závery

Bola skonštruovaná nová iteračná schéma s pamäťou so schopnosťou nájsť jednoduché aj viacnásobné korene (bez potreby poznať ich mnohopočetnosť). Je to, pokiaľ vieme, prvá metóda s týmito vlastnosťami v literatúre. Ukázalo sa, že jeho poradie konvergencie je približne 1,84 s dvoma novými funkčnými hodnoteniami na iteráciu; výsledkom je schéma na zlepšenie účinnosti Schröderovej schémy bez pamäte SM1, ktorá má podobné vlastnosti. Pomocou viacrozmernej reálnej diskrétnej dynamiky a nízkostupňových polynómov s jednoduchými a viacnásobnými koreňmi bola analyzovaná stabilita navrhovanej schémy, ktorá ukazuje široké oblasti konvergencie k obom druhom koreňov.

V poslednej časti Schröderove a gTM metódy fungujúce na niekoľkých príkladoch nám umožnili dospieť k záveru, že ak je multiplicita známa vopred, potom SM1 a gTM nemôžu súťažiť, aj keď je gTM lepšia ako SM1. Ak však nie je známa multiplicita, navrhovaná metóda gTM vykazuje veľmi dobrý výkon a lepšiu účinnosť ako metódy SM1, pokiaľ ide o čas vykonania, náklady na výpočty a šírku príťažlivých oblastí.

Príspevky autora:

Konceptualizácia, AC a JRT; metodika, BN; softvér, AC a BN; validácia, BN; formálna analýza, JRT; vyšetrovanie, AC; písanie – príprava pôvodného návrhu, AC a BN; písanie – recenzia a úprava, JRT; supervízia, BN a JRT Všetci autori si prečítali a súhlasili s publikovanou verziou rukopisu.

Financovanie:

Tento výskum čiastočne podporila PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Vyhlásenie informovaného súhlasu:

Nepoužiteľné.

Poďakovanie:

Autori by sa chceli poďakovať anonymným recenzentom za ich návrhy a pripomienky, ktoré zlepšili konečnú verziu tohto rukopisu.

Konflikt záujmov:

Autori nedeklarujú žiadny konflikt záujmov.

Referencie

1. Petkovič, M.; Neta, B.; Petkovič, L.; Džuni´c, J. Viacbodové metódy riešenia nelineárnych rovníc; Academic Press: Oxford, Spojené kráľovstvo, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Pokroky v iteračných metódach pre nelineárne rovnice; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Švajčiarsko, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Nová optimálna schéma bez derivátov vyššieho rádu pre viac koreňov. J. Comput. Appl. Matematika. 2021, 113773, v tlači. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimálny numerický algoritmus bez derivácie štvrtého rádu pre viac koreňov. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Rodina optimálnej iteračnej funkcie ôsmeho rádu pre viac koreňov a jej dynamiku. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Rodina iteračných metód piateho rádu na hľadanie viacerých koreňov nelineárnych rovníc. Numer. Anal. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Efektívna trieda metódy štvrtého rádu bez derivátov pre viac koreňov. Int. J. Nelinear Sci. Numer. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Rodina optimálnej metódy štvrtého rádu pre viac koreňov nelineárnych rovníc. Matematika. Metódy Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematika. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Optimálne poradie jednobodovej a viacbodovej iterácie. J. Assoc. Výpočet. Mach. 1974, 21, 643-651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Iteratívne riešenie nelineárnych rovníc v niekoľkých premenných; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iteračné metódy riešenia rovníc; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Riešenia rovníc a sústavy rovníc; Academic Press: New York, NY, USA; Londýn, Spojené kráľovstvo, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Viacrozmerný dynamický prístup k iteračným metódam s pamäťou. Appl. Matematika. Výpočet. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Úvod do chaotických dynamických systémov; Pokroky v matematike a inžinierstve; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com